交流回路の短絡過渡現象について(非対称短絡電流、対称短絡電流とは)

交流回路の短絡電流について説明します。交流回路の短絡電流というと単純に「電圧/インピーダンス」とイメージされるかもしれませんが、短絡というのは過渡現象であるため実際の短絡電流は交流電流に直流電流が重畳されたものになります。

回路方程式から短絡電流を求める

その過渡的な短短絡電流の大きさをRL直列回路から求めます。

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RL直列回路において  t=0 でスイッチSを閉じたときの回路方程式は次式で表されます。

 Ri(t) + L \dfrac{di(t)}{dt} = E_{m} \sin(\omega t + \theta)

 \theta:短絡瞬時電圧位相角(投入角)

初期条件  t=0 のとき  i(t)=0 であるので電流は次式となります。

 i(t) = \dfrac{E_{m}}{\sqrt{R^{2} + (\omega L)^{2}}} \left\{ \sin(\omega t + \theta - \phi) - \sin(\theta - \phi) \exp \left(- \dfrac{R}{L} t \right) \right\}

ただし、 \phi = \tan^{-1} \dfrac{\omega L}{R}です。(力率角)

以上の式より、短絡電流が過渡的な成分を含んだものであることがわかります。短絡電流の時間経過は以下の図のようになります。短絡直後で、直流成分を含んだ波形の電流を非対称短絡電流と呼びます。定常的な状態の短絡電流を対称短絡電流と呼びます。

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対称短絡電流実効値

対称短絡電流実効値  I_{sym} は次式で表されます。

 I_{sym} = \dfrac{A_{s}}{\sqrt{2}}

対称短絡電流とはいわゆる定常的な電流のことなので単純に最大値を \sqrt{2} で割ったものになります。この対称短絡電流実効値は主に配線用遮断器(MCCB)の選定において使用されます。

非対称短絡電流実効値

非対称短絡電流実効値  I_{asym} は次式で表されます。

 I_{asym} = \sqrt{ \left(\dfrac{A_{s}}{\sqrt{2}} \right)^2 + A_{d}^2}

対称短絡電流実効値と直流成分を合わせたものになります。非対称短絡電流は電気機器(発電機や変圧器など)の機械的強度を検討する場合に使用されます。ちなみに単相回路と三相回路では非対称短絡電流実効値は異なります。三相の場合は各相が  \dfrac{2}{3} \pi ずつずれているのでそれぞれ相の非対称短絡電流の平均値になります。単相、三相の非対称短絡電流実効値は、導出過程は省略しますが次式で表されます。なお、 X = \omega L です。

1) 単相回路の場合

 I_{asym} = K_{1} I_{sym}

 K_{1} = \sqrt{1 + 2 \exp \left( - \dfrac{2 \pi R}{X} \right) }

2) 三相回路の場合

 I_{asym} = K_{3} I_{sym}

 K_{3} = \dfrac{1}{3} \left\{ \sqrt{1 + 2 \exp \left( - \dfrac{2 \pi R}{X} \right) } + 2 \sqrt{1 + \dfrac{1}{2} \exp \left( - \dfrac{2 \pi R}{X} \right) } \right\}

最大非対称短絡電流瞬時値

上のグラフにおける  A_d + A_s の部分を最大非対称短絡電流瞬時値  I_p と言います。 I_p は次式で表されます。(導出過程は省略)

 I_{p} = K_{p} I_{sym}

 K_{p} = \sqrt{2} \left[ 1 + \sin \phi \cdot \exp \left\{ -  \dfrac{R}{X} \left( \dfrac{\pi}{2} + \phi \right) \right\} \right]

 K_1 , K_3, K_pと力率の関係を以下のグラフに示します。上の式で表されている通り、いずれも力率cosφが小さくなる(=X/Rが大きくなる)ほど、係数は大きくなります。

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まとめ

  • 交流回路の短絡電流は交流成分に過渡的な直流成分が含まれる。交流回路の短絡電流には対称短絡電流非対称短絡電流の2つがある。
  • 単相回路と三相回路では非対称短絡電流の大きさが異なる。
  • 対称短絡電流は主に配線用遮断器の選定に、非対称短絡電流は電気機器の機械的強度の検討に用いられる。

【参考サイト】