スターデルタ始動モータの電圧降下計算 - プラント電気計装エンジニアのメモ

スターデルタ始動モータのケーブルの電圧降下について考えてみます。

直入れ三相モータの電圧降下計算式
スターデルタ始動モータの電圧降下計算式
- Δ結線時（定常時）
- Y結線時（始動時）
まとめ

直入れ三相モータの電圧降下計算式

まず基本式として、直入れの三相モータの電圧降下計算式は以下の通りです。

$\Delta V = \sqrt{3} I L ( R \cos{\theta} + X \sin{\theta} )$

$\Delta V$ ：ケーブルに生じる電圧降下 [V]
$I$ ：負荷電流 [A]
$L$ ：配線距離 [km]
$R$ ：ケーブルの抵抗 [Ω/km]
$X$ ：ケーブルのリアクタンス [Ω/km]
$\cos{\theta}$ ：負荷力率
$\sin{\theta} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\theta}}$

ただし、上式が使えるのは直入れのモータやインバータの場合です。スターデルタ始動では配線が6本になるのでこの式は使えません。

スターデルタ始動モータの電圧降下計算式

スターデルタの場合、制御盤からモータ端子部までのケーブルで生じる電圧降下の計算式は以下の式となります。

$\Delta V = \dfrac{2}{\sqrt{3}} I L ( R \cos{\theta} + X \sin{\theta} )$

直入れの基本式とは係数が異なります。なぜこうなるかを以下で解説します。

Δ結線時（定常時）

まずは通常運転時のΔ結線で考えてみます。スターデルタ始動の回路を以下に示します。

Δ結線はMCとMCDが閉、MCSが開の状態です。U-Y, V-Z, W-Xがそれぞれ短絡状態となり、モータの回路は以下のようになります。

スターデルタ始動では配線が6本あるのでケーブルのインピーダンスは行きと帰りで2倍となります。言い換えると、制御盤からモータまでの距離がLの場合、インピーダンスは（単位長さあたりの電線インピーダンス）×2Lとして計算する必要があります。

また、ケーブルを流れる電流は線電流ではなく相電流になります。相電流は線電流の1／√3倍になります。よって線電流（スターデルタ回路の一次側＝サーマルリレーの場所）で電流 $I$ が流れているとき、盤～モータのケーブルには $\dfrac{I}{\sqrt{3}}$ の電流が流れています。

以上より、ケーブル長さ $L$ が2倍、電流 $I$ が $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 倍になるということで、電圧降下の計算式は以下の式となります。

$\Delta V = \dfrac{2}{\sqrt{3}} I L ( R \cos{\theta} + X \sin{\theta} )$

直入れモータの違いは、直入れの場合は線電流でケーブルの電圧降下を計算しますが、スターデルタのΔ結線では相電流で電圧降下を計算する点にあります。相電流（相電圧）のところで見ているので三相モータの基本式にあった係数 $\sqrt{3}$ は今回関係なく、係数は $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ となります。

Y結線時（始動時）

始動時すなわちY結線時の回路は以下の通りとなります。

直入れ時と比較して、ケーブルの長さが2倍になるのでL→2Lになります。また、スターデルタ始動におけるY結線の始動電流は、Δ結線時（直入時の始動電流）の1／3倍になります。Y結線時の電圧降下は、基本式を用いて以下の式となります。

\begin{align}
\Delta V &= \dfrac{2}{3} \times \sqrt{3} I L ( R \cos{\theta} + X \sin{\theta} ) \\&= \dfrac{2}{\sqrt{3}} I L ( R \cos{\theta} + X \sin{\theta} )
\end{align}

結局、Δ結線時のときに求めた計算式と同じ式になります。ただし、上式の電流 $I$ には直入れ時の始動電流（例：定格電流の10倍）を入れてください。

以上より、スターデルタの始動時の電圧降下は直入れ時の2／3倍（67％）になります。（ケーブルのサイズ、配線距離が同じという条件で）

始動電流が直入の1／3倍になるからと言って電圧降下も1／3倍になるわけではないので注意が必要です。